La proporción o la proporcionalidad es un tema que me ha intrigado porque ha sido un concepto que ha influido en el desarrollo de varias áreas del saber humano. La proporción viene siendo la relación que hay entre dos cantidades o cuantas veces una cantidad cabe en otra. Al hablar de cantidades parece un concepto matemático, pero esto es la definición cuantitativa y el concepto de proporción puede ser tanbien un concepto cualitativo.
Leyendo Wikipedia he encontrado el siguiente ejemplo que ilustra muy bien el uso de proporcionalidad:
“La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla, cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá el mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.”
En otras palabras, el pastel para 5 personas esta en proporción de 5/4 con relación a la receta original.
En música, si emitimos un sonido con una cuerda templada y una longitud dada y luego emitimos otro con la cuerda a la mitad de la longitud, la frecuencia de los dos sonidos estaría en una relación (proporción) de ½. El músico nos diría que uno de los sonidos esta una octava más alto o bajo que el otro y que los sonidos son “armónicos” es decir que gustan al oído. En general los Griegos habían escrito que si los sonidos emitidos esta en relaciones sencillas digamos ½, 1/3, ¾, etc. los sonidos son armónico y se puede hacer música bella.
Entonces la proporción y la belleza parece están relacionadas. Leonardo D Vinci y pintores renacentista dedicaron mucho tiempo de su conocimiento en tratar de demostrar que el cuerpo humano está dividido en proporciones sencillas y mientras más sencillas aparentemente más bellas. ´Al componer un cuadro, los objetos se localizan en lugares proporcionales para aumentar su belleza.
Y al tratar de proporciones en el arte aparece una interesante que no se expresa en números sino por definición.
Si tenemos una recta con una longitud dada y la dividimos en dos partes de tal manera que la proporción entre los dos segmentos sea igual a la relación entre toda la recta y el segmento mayor, entonces se dice que la recta está dividida en su “numero áureo” o “proporción aurea” o la proporción es el “numero de oro”.
Un ejemplo, si tomo mi estatura, es decir la distancia entre mis pies y mi cabeza y considero mi ombligo, entonces la longitud de mis pies al ombligo dividida por la longitud del ombligo a la cabeza es igual a mi estatura dividida por la distancia del pie al ombligo. Entonces el cuerpo humano esta proporcionado en el numero áureo. Lógico que esto es un ideal de belleza, quizás si hace sus propias medidas puede encontrar desviaciones de este numero áureo.
Aparentemente el numero áureo aparece mucho en la naturaleza. Se considera que la distancia del brazo y el codo están en relación aurea, una rama de un árbol genera un retoño de otra rama en un punto que está en relación aurea con la longitud de la rama, etc.
El numero áureo es muy bien conocido y se usa la letra griega “fi” para expresar su valor, los matemáticos lo han calculado como aproximadamente igual a 1,618 y digo aproximado porque curiosamente el numero áureo no es un numero racional es decir que no lo podemos expresar como la relación de dos números enteros, entonces el resultado es un numero decimal con nunca termina de escribirse. Un valor más aproximado seria:
Otra proporciones está en el circulo: la relación entre el diámetro del circulo a la circunferencia también es una proporción constate y nos crea el numero “pi” para expresarla y también como el numero áureo es un número no-racional (irracional) ya que no podemos expresarlo como un numero fraccional de números enteros. Como todos sabemos “pi” es aproximadamente igual a 3,1416.
Otro caso de proporciones sale del siguiente relato que he tomado de wikipedia:
“En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la peste que atacaba muy severamente la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber cómo poder detener la epidemia. La respuesta a la consulta del Oráculo es que deben elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplique el del altar que ya existe. Lo intentaron, es muy seguro, pero también fue igualmente seguro que no lograron evitar el desastre por este medio. La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.”
El caso aquí es que se quiere tener un cubo de volumen doble que el anterior es decir una proporción de 1 a 2. En principio los atenienses pensaron que el nuevo altar debía tener el doble de ancho, largo y altura del original, pero si lo hacemos asi tendremos un altar que seria 8 veces el anterior. Actualmente un ingeniero diría que los lados del altar deben tener una proporción igual a la raíz cubica de 2 pero en el siglo 5 antes de Cristo los Griegos trataron de resolverlo por geometría clásica usando regla y compas y es uno de los problemas clásicos de la matemática.
La proporción es la raíz cubica de 2, este valor no puede ser presentado como una relación de números sencillos (enteros). Un proporción que no pode ser representado como una relación de dos números enteros les causo mucho problemas a los filósofos griegos ya que no lo podían entender. Se le salía de los conceptos de armonía y belleza que debería estar en el racionamiento. Como la raíz cubica de 2 existe y es necesaria para resolver problema matemático no quedo otra forma sino denominar a estos números “irracionales” es decir “no lógicos”.
Se cuenta que un discípulo de Pitágoras llego a deducir los números irracionales, pero como esto podía afectar los fundamentos del pensamiento pitagórico, ellos decidieron conservar los numeros irracionales como un gran secreto y al pobre discípulo lo botaron al mar para que nunca divulgara el secreto.
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La foto muestra cómo queda el cable coaxial en un intento de hacer la antena según el primer dibujo.
Eugenio Thompson 